Completar cuadrados

Completar el cuadrado de una expresión algebraica es el procedimiento que se sigue con el fin de formar el cuadrado de un binomio.
El procedimiento consiste en sumar en ambos lados de la igualdad el resultado de elevar al cuadrado la mitad del coeficiente de la variable que tiene como potencia al número uno, para posteriormente transformar el miembro a la izquierda de la igualdad en el cuadrado de un binomio.
$$ x^2+bx=c $$
$$ x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=c+(\frac{b}{2})^2 $$
$$ (x+\frac{b}{2})^2=c+(\frac{b}{2})^2 $$

Ejemplo 1. Completa el cuadrado de la siguiente expresión
$$ x^2+6x=2 $$
Solución
Paso 1. El coeficiente (número que acompaña a la variable) de la equis que no está elevada al cuadrado es seis. La mitad del seis es tres, ese es el numero el cual elevamos al cuadrado y sumamos a ambos lados de la igualdad.
$$ x^2+6x+3^2=2+3^2 $$
Paso 2. Luego la expresión a la izquierda de la igualdad se escribe en su forma de cuadrado de un binomio; esto se hace eligiendo los términos que tienen a dos como potencia y separándolos por el signo del segundo término de la ecuación. Finalmente, la expresión obtenida se encierra entre paréntesis y se eleva todo al cuadrado.
$$ (x+3)^2=11 $$
Y hemos terminado…


Ejemplo 2. Completa el cuadrado de la siguiente expresión
$$ y^2-10y=4 $$
Solución
Paso 1. El coeficiente (número que acompaña a la variable) de la ye que no está elevada al cuadrado es diez. La mitad del diez es cinco, ese es el numero el cual elevamos al cuadrado y sumamos a ambos lados de la igualdad.
$$ y^2-10y+5^2=4+5^2 $$
Paso 2. Luego la expresión a la izquierda de la igualdad se escribe en su forma de cuadrado de un binomio; esto se hace eligiendo los términos que tienen a dos como potencia y separándolos por el signo del segundo término de la ecuación. Finalmente, la expresión obtenida se encierra entre paréntesis y se eleva todo al cuadrado.
$$ (y-5)^2=29 $$
Y hemos terminado…


Ejemplo 3. Completa el cuadrado de la siguiente expresión
$$ x^2+2x=3 $$
Solución
$$ x^2+2x+1^2=3+1^2 $$
$$ (x+1)^2=4 $$


Ejemplo 4. Completa el cuadrado de la siguiente expresión
$$ x^2-14x=-2 $$
Solución
$$ x^2-14x+7^2=-2+7^2 $$
$$ (x-7)^2=47 $$


Ejemplo 5. Completa el cuadrado de la siguiente expresión
$$ y^2-8x=0 $$
Solución
$$ y^2-8x+4^2=0+4^2 $$
$$ (y-4)^2=16 $$


Ejemplo 6. Completa los cuadrados para la siguiente expresión
$$ x^2+6x+y^2-10y=0 $$
Solución
En este caso se completan los cuadrados al mismo tiempo en la expresión, pero teniendo en cuenta que las equis van con las equis y las yes van con las yes.
$$ x^2+6x+3^2+y^2-10y+5^2=0+3^2+5^2 $$
$$ (x+3)^2+(y-5)^2=36 $$


Ejemplo 7. Completa los cuadrados para la siguiente expresión
$$ x^2-8y+y^2+12x=0 $$
Solución
En este caso primero debemos agrupar los términos según la variable, es decir las equis con las equis y las yes van con las yes escribiendo primero la de mayor grado, luego se procede como en los ejercicios anteriores.
$$ x^2+12x+y^2-8y=0 $$
$$ x^2+12x+6^2+y^2-8y+4^2=0+6^2+4^2 $$
$$ (x+6)^2+(y-4)^2=52 $$