Al finalizar el estudio de esta sesión se espera que el estudiante
  • Analice algunas de las propiedades de la función cuadrática.
  • Realice la gráfica de una función cuadrática teniendo en cuenta sus características.
  • Formule y resuelva situaciones del contexto científico y/o cotidiano que impliquen el uso de funciones cuadráticas.

 

La función cuadrática es de la forma
$$ f(x)=ax^2+bx+c, \text{ donde a, b y c ∈ R, a≠0} $$
La gráfica que forma una función cuadrática recibe el nombre de parábola.

Iniciamos esta sesión aprendiendo a identificar cada uno de los coeficientes de la una función cuadrática. A continuación se presentan una serie de ejemplos en los que en cada caso se identifica el valor de sus coeficientes.

Ejemplo 1.
$$ 3x^2+2x+1 $$
$$ a = 3\text{.      b = 2.      c = 1.} $$

Ejemplo 2.
$$ x^2-7x+9 $$
$$ a = 1\text{.      b = -7.      c = 9.} $$

Ejemplo 3.
$$ 6x^2+5x-8 $$
$$ a = 6\text{.      b = 5.      c = -8.} $$

Ejemplo 4.
$$ 12x+x^2 $$
$$ a = 1\text{.      b = 12.      c = 0.} $$

Ejemplo 5.
$$ x^2 $$
$$ a = 1\text{.      b = 0.      c = 0.} $$

Ejemplo 6.
$$ -2x^2+4x+1 $$
$$ a = -2\text{.      b = 4.      c = 1.} $$

Ejemplo 7.
$$ x^2-4x $$
$$ a = 1\text{.      b = -4.      c = 0.} $$

Ejemplo 8.
$$ 3-x^2 $$
$$ a = -1\text{.      b = 0.      c = 3.} $$

Ejemplo 9.
$$ \frac{-x^2}{3}+2x-1 $$
$$ a = \frac{-1}{3}\text{.      b = 2.      c = -1.} $$

Ejemplo 10.
$$ -x^2+x+2 $$
$$ a = -1\text{.      b = 1.      c = 2.} $$

Ahora revisemos los pasos que se aconsejan seguir para realizar la gráfica de una función cuadrática.

Para graficar una función cuadrática se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. Valores de a, b y c. Hallamos por inspección los coeficientes a, b y c.

Paso 2. Abertura de la parábola. Determinamos si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
$$ \text{Si }a>0 $$ es decir si a es positiva, entonces la parábola abre hacia arriba.
$$ \text{Si }a<0 $$ es decir si a es negativa entonces la parábola abre hacia abajo.

Paso 3. Vértice V(x,y). Corresponde al punto más bajo o alto de la parábola. Téngase en cuenta que el vértice es un punto en el plano, por ello tiene una coordenada en "x" y una coordenada en "y"
Coordenada en x$$ x=\frac{-b}{2a} $$
Coordenada en y
$$ f(\frac{-b}{2a}) $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a})) $$

Paso 4. Corte de la parábola con el eje y. El punto de corte de la parábola con el eje "y" estará siempre en (0,c).

Paso 5. Corte de la parábola con el eje x. Investigamos si la parábola corta con el eje "x"
Primero se calcula el discriminante de la siguiente manera:
$$ b^2-4ac $$
$$ \text{Caso I. } b^2-4ac<0 $$
En este caso la parábola NO corta al eje "x".
$$ \text{Caso II. } b^2-4ac=0 $$
En este caso la parábola corta al eje "x" en un punto, dicho punto de corte será el mismo vértice de la parábola.
$$ \text{Caso III. } b^2-4ac>0 $$
En este caso la parábola corta al eje "x" en dos puntos, estos serán calculados de la siguiente manera:
$$ x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

👉Antes de pasar a los ejercicios, recordemos cómo se encuentra el vértice de una función cuadrática. Reprodúcelo a partir del minuto 03:26 👈




Ahora sí realicemos la gráfica de algunas funciones cuadráticas...💪

$$ ************************************** $$
$$ \text{Ejemplo # 1. Graficar }3x^2+6x+5 $$
$$ ************************************** $$
Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = 3\text{.       b = 6.       c = 5.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a>0\text{ la parábola abre hacia arriba} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-6}{2(3)}=\frac{-6}{6}=-1$$
Coordenada en y
$$ f(-1)=3(-1)^2+6(-1)+5 $$
$$ f(-1)=3(1)+6(-1)+5 $$
$$ f(-1)=3-6+5 $$
$$ f(-1)=8-6 $$
$$ f(-1)=2 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(-1,2) $$
Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,5) $$
Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
Primero se calcula el discriminante:
$$ b^2-4ac $$
$$ (6)^2-4(3)(5) $$
$$ 36-60 $$
$$ -24 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac<0\text{ , no corta al eje x} $$
Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola. 👇


$$ ************************************** $$
$$ \text{Ejemplo # 2. Graficar }x^2+2x+1 $$
$$ ************************************** $$
Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = 1\text{.       b = 2.       c = 1.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a>0\text{ la parábola abre hacia arriba} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-2}{2(1)}=\frac{-2}{2}=-1$$
Coordenada en y
$$ f(-1)=(-1)^2+2(-1)+1 $$
$$ f(-1)=1-2+1 $$
$$ f(-1)=2-2 $$
$$ f(-1)=0 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(-1,0) $$
Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,1) $$
Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
Primero se calcula el discriminante:
$$ b^2-4ac $$
$$ (2)^2-4(1)(1) $$
$$ 4-4 $$
$$ 0 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac=0\text{ , corta a x en 1 punto} $$
$$ V(-1,0) $$
Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.


$$ ************************************** $$
$$ \text{Ejemplo # 3. Graficar }-x^2+4x-3 $$
$$ ************************************** $$
Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = -1\text{.       b = 4.       c = -3.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a<0\text{ la parábola abre hacia abajo} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-4}{2(-1)}=\frac{-4}{-2}=2 $$
Coordenada en y
$$ f(2)=-(2)^2+4(2)-3 $$
$$ f(2)=-4+8-3 $$
$$ f(2)=8-7 $$
$$ f(2)=1 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(2,1) $$
Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,-3) $$
Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
Primero se calcula el discriminante:
$$ b^2-4ac $$
$$ (4)^2-4(-1)(-3) $$
$$ 16-12 $$
$$ 4 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac>0\text{ , corta a x en 2 puntos} $$
$$ x_1=\frac{-4+\sqrt{4}}{2(-1)}=\frac{-4+2}{-2}=\frac{-2}{-2}=1 $$
$$ x_2=\frac{-4-\sqrt{4}}{2(-1)}=\frac{-4-2}{-2}=\frac{-6}{-2}=3 $$
Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.


$$ ************************************** $$
$$ \text{Ejemplo # 4. Graficar }-x^2+6x-11 $$
$$ ************************************** $$
Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = -1\text{.       b = 6.       c = -11.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a<0\text{ la parábola abre hacia abajo} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-6}{2(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 $$
Coordenada en y
$$ f(3)=-(3)^2+6(3)-11 $$
$$ f(3)=-9+6(3)-11 $$
$$ f(3)=-9+18-11 $$
$$ f(3)=18-20 $$
$$ f(3)=-2 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(3,-2) $$
Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,-11) $$
Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
Primero se calcula el discriminante:
$$ b^2-4ac $$
$$ (6)^2-4(-1)(-11) $$
$$ 36-44 $$
$$ -8 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac<0\text{ , no corta al eje x} $$
Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.


$$ ************************************** $$
$$ \text{Ejemplo # 5. Graficar }\frac{-x^2}{2}+4x-8 $$
$$ ************************************** $$
Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = \frac{-1}{2}=-0,5\text{.    b = 4.      c = -8.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a<0\text{ la parábola abre hacia abajo} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-4}{2(-0,5)}=\frac{-4}{-1}=4 $$
Coordenada en y
$$ f(4)=\frac{-(4)^2}{2}+4(4)-8 $$
$$ f(4)=\frac{-16}{2}+4(4)-8 $$
$$ f(4)=-8+16-8 $$
$$ f(4)=16-16 $$
$$ f(4)=0 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(4,0) $$
Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,-8) $$
Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
Primero se calcula el discriminante:
$$ b^2-4ac $$
$$ (4)^2-4(-0,5)(-8) $$
$$ 16-16 $$
$$ 0 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac=0\text{ , corta a x en 1 punto} $$
$$ V(4,0) $$
Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.


$$ ************************************** $$
$$ \text{Ejemplo # 6. Graficar }2x^2-4x-6 $$
$$ ************************************** $$
Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = 2\text{.       b = -4.       c = -6.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a>0\text{ la parábola abre hacia arriba} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-(-4)}{2(2)}=\frac{4}{4}=1 $$
Coordenada en y
$$ f(1)=2(1)^2-4(1)-6 $$
$$ f(1)=2(1)-4(1)-6 $$
$$ f(1)=2-4-6 $$
$$ f(1)=2-10 $$
$$ f(1)=-8 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(1,-8) $$
Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,-6) $$
Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
Primero se calcula el discriminante:
$$ b^2-4ac $$
$$ (-4)^2-4(2)(-6) $$
$$ 16+48 $$
$$ 64 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac>0\text{ , corta a x en 2 puntos} $$
$$ x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{64}}{2(2)}=\frac{4+8}{4}=\frac{12}{4}=3 $$
$$ x_2=\frac{-(-4)-\sqrt{64}}{2(2)}=\frac{4-8}{4}=\frac{-4}{4}=-1 $$
Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.


$$ ************************************** $$
$$ \text{Ejemplo # 7. Graficar }-3x^2+6x+9 $$
$$ ************************************** $$
Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = -3\text{.       b = 6.       c = 9.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a<0\text{ la parábola abre hacia abajo} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-6}{2(-3)}=\frac{-6}{-6}=1 $$
Coordenada en y
$$ f(1)=-3(1)^2+6(1)+9 $$
$$ f(1)=-3(1)+6(1)+9 $$
$$ f(1)=-3+6+9 $$
$$ f(1)=15-3 $$
$$ f(1)=12 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(1,12) $$
Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,9) $$
Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
Primero se calcula el discriminante:
$$ b^2-4ac $$
$$ (6)^2-4(-3)(9) $$
$$ 36+108 $$
$$ 144 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac>0\text{ , corta a x en 2 puntos} $$
$$ x_1=\frac{-6+\sqrt{144}}{2(-3)}=\frac{-6+12}{-6}=\frac{6}{-6}=-1 $$
$$ x_2=\frac{-6-\sqrt{144}}{2(-3)}=\frac{-6-12}{-6}=\frac{-18}{-6}=3 $$
Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.


$$ ************************************** $$
Ejemplo # 1. Aplicación de las funciones cuadráticas.
$$ ************************************** $$
La trayectoria que recorre un balón al ser pateado se puede representar a través de la función $$ h(t)=-16t^2+48t $$ donde h representa la altura en metros que alcanza el balón cuando transcurren t segundos.

1. Dibuje la gráfica de la función.
2. ¿Qué altura alcanza el balón después de 0,5 segundos de haber sido pateado?
3. ¿A los cuántos segundos de haber sido pateado el balón este alcanza su altura máxima y cuál es esa altura?
4. ¿Qué tiempo tarda el balón en el aire desde que se patea hasta que cae al suelo?

Solución

1. Dibuje la gráfica de la función 👀

Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = -16\text{.       b = 48.       c = 0.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a<0\text{ la parábola abre hacia abajo} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-48}{2(-16)}=\frac{-48}{-32}=1,5 $$
Coordenada en y
$$ f(1,5)=-16(1,5)^2+48(1,5) $$
$$ f(1,5)=-16(2.25)+72 $$
$$ f(1,5)=-36+72 $$
$$ f(1,5)=36 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(1,5\text{ ; }36) $$
Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,0) $$
Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
$$ b^2-4ac $$
$$ (48)^2-4(-16)(0) $$
$$ 2304+0 $$
$$ 2304 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac>0\text{ , corta a x en 2 puntos} $$$$ x_1=\frac{-48+\sqrt{2304}}{2(-16)}=\frac{-48+48}{-32}=\frac{0}{-32}=0 $$
$$ x_2=\frac{-48-\sqrt{2304}}{2(-16)}=\frac{-48-48}{-32}=\frac{-96}{-32}=3 $$
Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.
😎


2. ¿Qué altura alcanza el balón después de 0,5 segundos? 🙋

Si leemos, en el problema se nos dice que h representa la altura que alcanza el balón cuando transcurren t segundos, en ese sentido debemos remplazar el valor t = 0,5 en la función h(t) y el resultado corresponderá al valor de la altura cuando han transcurrido 0,5 segundos.
$$ h(0,5)=-16(0,5)^2+48(0,5) $$
$$ h(0,5)=-16(0,25)+48(0,5) $$
$$ h(0,5)=-4+24 $$
$$ h(0,5)=20 $$
Es decir que transcurridos 0,5 segundos después de haber sido pateado el balón, este alcanza una altura de 20 metros.

3. ¿A los cuántos segundos de haber sido pateado el balón este alcanza su altura máxima?✌
Por simple inspección al observar la gráfica nos damos cuenta de que a medida que aumenta el tiempo (eje x) también aumenta la altura del balón (eje y), pero esto sucede hasta cierto punto desde el cual esta última empieza a disminuir hasta llegar a cero. Dicho punto es el vértice de la parábola, por lo tanto, han de transcurrir 1,5 segundos para que el balón alcance su altura máxima de 36 metros.
Cuando trabajamos con funciones cuadráticas siempre que nos pregunten por algo relacionado a mínimo o máximo debemos pensar en el vértice de la función, ya que es en el vértice de la parábola donde está el valor máximo o mínimo de la función.

4. ¿Qué tiempo tarda el balón en el aire desde que se lanza hasta que cae al suelo?😎

Al observar la gráfica nos podemos dar cuenta que desde que se patea el balón hasta que cae nuevamente al suelo transcurren 3 segundos.


$$ ************************************** $$
Ejemplo # 2. Aplicación de las funciones cuadráticas.
$$ ************************************** $$
Un objeto se lanza al aire directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 96 m/s. Si la altura del objeto se puede representar a través de la expresión
$$ h(t)=96t-16t^2 $$
donde h(t) representa la altura alcanzada por el objeto al transcurrir t segundos.
1. Realiza la gráfica que representa la situación.
2. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto y cuántos segundos habrán transcurridos al llegar a esa altura máxima?
3. ¿Qué tiempo duró el objeto en el aire?
4. ¿A qué altura se encontraba el objeto después de 5 segundos de haber sido lanzado al aire?
5. ¿Es cierto que la atura alcanzada por el objeto después de haber transcurrido 2 segundos es igual a la alcanzada después de 5 segundos?
6. ¿Qué sucede exactamente tres segundos después de haber sido lanzado el objeto?

Solución
1. Realice la gráfica que representa la situación 👀

Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = -16\text{.       b = 96.       c = 0.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a<0\text{ la parábola abre hacia abajo} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-96}{2(-16)}=\frac{-96}{-32}=3 $$
Coordenada en y$$ f(3)=96(3)-16(3)^2 $$
$$ f(3)=96(3)-16(9) $$
$$ f(3)=288-144 $$
$$ f(3)=144 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(3\text{ ; }144) $$

Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,0) $$

Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
$$ b^2-4ac $$
$$ (96)^2-4(-16)(0) $$
$$ 9216+0 $$
$$ 9216 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac>0\text{ , corta a x en 2 puntos} $$
$$ x_1=\frac{-96+\sqrt{9216}}{2(-16)}=\frac{-96+96}{-32}=\frac{0}{-32}=0 $$
$$ x_2=\frac{-96-\sqrt{9216}}{2(-16)}=\frac{-96-96}{-32}=\frac{-192}{-32}=6 $$

Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.



2. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto y cuántos segundos habrán transcurridos al llegar a esa altura máxima?

Recordemos que el valor máximo o mínimo en una función cuadrática lo encontramos calculando el vértice de la misma.
Del paso 3 del punto anterior se puede observar que el vértice corresponde al punto
$$ V(3\text{ ; }144) $$
del cual se concluye que el valor máximo que alcanza el objeto es de 144 metros, y este lo alcanza 3 segundos después de haber sido lanzado.

3. ¿Qué tiempo duró el objeto en el aire?

Del gráfico se puede observar que el objeto desde que fue lanzado hasta que regresó al punto de origen, tardó 6 segundos.

4. ¿A qué altura se encontraba el objeto después de 5 segundos de haber sido lanzado al aire?

Para calcular la altura a la cual se encontraba el objeto cinco segundos despues de haber sido lanzado, debemos remplazar t=5 en la función h(t), o dicho de otra manera $$ h(5)=? $$
$$ h(5)=96(5)-16(5)^2 $$
$$ h(5)=96(5)-16(25) $$
$$ h(5)=480-400 $$
$$ h(5)=80 $$
Se concluye que el objeto se encontraba a 80 metros de altura después de haber transcurrido 5 segundos.

5. ¿Es cierto que la atura alcanzada por el objeto después de haber transcurrido 2 segundos es igual a la alcanzada después de 5 segundos?

Del punto anterior sabemos que la altura que alcanza por el objeto después de 5 segundos es 80 metros, averiguemos cuál será la altura alcanzada por el objeto después de 2 segundos.
$$ h(2)=96(2)-16(2)^2 $$
$$ h(2)=96(2)-16(4) $$
$$ h(2)=192-64 $$
$$ h(2)=128 $$
La altura alcanzada por el objeto después de 2 segundos fue de 128 metros, por lo tanto se concluye que las alturas alcanzadas fueron diferentes.

6. ¿Qué sucede exactamente tres segundos después de haber sido lanzado el objeto?

En este punto el objeto alcanza su altura máxima, en otras palabras, la velocidad del objeto en ese punto se hace cero, y a partir de ese momento empieza a descender.


$$ ************************************** $$
Ejemplo # 3. Aplicación de las funciones cuadráticas.
$$ ************************************** $$
Un proyectil es disparado desde un estación militar. La altura h(t) que alcanza este después de t segundos de haber sido lanzado se puede representar a través de
$$ h(t)=-12t^2+120t $$
1. Realice la gráfica que representa la situación.
2. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que el proyectil alcance su altura máxima y cuál será esta?
3. ¿Qué tiempo tarda el proyectil en el aire una vez se dispara?

Solución
1. Realice la gráfica que representa la situación 👀

Paso 1. Valores de a, b y c.
$$ a = -12\text{.       b = 120.       c = 0.} $$
Paso 2. Abertura de la parábola.
$$ \text{Como }a<0\text{ la parábola abre hacia abajo} $$
Paso 3. Vértice V(x,y).

Coordenada en x
$$ x=\frac{-120}{2(-12)}=\frac{-120}{-24}=5 $$
Coordenada en y
$$ f(5)=-12(5)^2+120(5) $$
$$ f(5)=-12(25)+120(5) $$
$$ f(5)=-300+600 $$
$$ f(5)=300 $$
Por lo que el vértice estará ubicado en el punto
$$ V(5\text{ ; }300) $$

Paso 4. Corte de la parábola con el eje y.
$$ C(0,0) $$

Paso 5. Corte de la parábola con el eje x.
$$ b^2-4ac $$
$$ (120)^2-4(-12)(0) $$
$$ 14400+0 $$
$$ 14400 $$
$$ \text{Como } b^2-4ac>0\text{ , corta a x en 2 puntos} $$
$$ x_1=\frac{-120+\sqrt{14400}}{2(-12)}=\frac{-120+120}{-24}=\frac{0}{-24}=0 $$
$$ x_2=\frac{-120-\sqrt{14400}}{2(-12)}=\frac{-120-120}{-24}=\frac{-240}{-24}=10 $$

Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en los pasos anteriores y trazando una línea suave y curva, se obtiene la gráfica de la parábola.



2. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que el proyectil alcance su altura máxima y cuál será esta?

Han de transcurrir de 5 minutos para que el proyectil alcance su altura máxima, la cual es de 300 metros.

3. ¿Qué tiempo tarda el proyectil en el aire una vez se dispara?
Luego que el proyectil es disparado este tarda 10 segundos en realizar su recorrido.