Al finalizar el estudio de esta sesión se espera que el estudiante
  • Fortalezca y/o desarrolle competencias en el planteamiento y resolución de situaciones que implican el uso del concepto de circunferencia.

El estudio de las circunferencias es aplicado en la mayoría de los campos existentes en la actualidad. Las ondas generadas por una gota de agua al caer en un estanque o las generadas al detonar un explosivo, la señales de radio y telecomunicaciones, la forma de muchos productos que utilizamos con frecuencia, entre otras, son algunos ejemplos de las aplicaciones e importancia que tienen las circunferencias. El objetivo de esta sesión es desarrollar situaciones problemas que implique el uso del concepto de circunferencia. Se iniciará con ejemplos sencillos y progresivamente se irá aumentando el nivel de complejidad.

Situación 1. La empresa metales de Santa Lucía le pide a usted que diseñe una arandela de acero a partir de las siguientes ecuaciones.
$$ x^2+y^2=1^2 $$
$$ x^2+y^2=2^2 $$

Solución
Se puede observar que ambas ecuaciones corresponden a circunferencias escritas en su forma canónica y están centradas en el origen, es decir su centro es C(0,0). El radio de la primera ecuación es r = 1 y el de la segunda es r = 2. Al dibujar ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano nos quedaría lo siguiente.


Situación 2. Determina las ecuaciones en forma canónica de cada circunferencia que compone el emoticón de la figura.

Solución
Se puede observar que hay tres circunferencias. Ninguna de ellas está centrada en el origen. Recordemos que la ecuación canónica de la circunferencia tiene la forma
$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$
Donde h, k son las coordenadas x e y del centro y r es el radio de esta.
Ecuación 1. La que parece un ojo izquierdo. Podemos observar que presenta las siguientes características.
$$ \text{el Centro es }C(3,4) \text{ y su radio }r=1 $$
Por lo tanto, la primera ecuación sería
$$ (x-3)^2+(y-4)^2=1^2 $$
Ecuación 2. La que parece un ojo derecho. Podemos observar que presenta las siguientes características.
$$ \text{el Centro es }C(5,4) \text{ y su radio }r=1 $$
Por lo tanto, la segunda ecuación sería
$$ (x-5)^2+(y-4)^2=1^2 $$
Ecuación 3. La más grande. Podemos observar que presenta las siguientes características.
$$ \text{el Centro es }C(4,3) \text{ y su radio }r=3 $$
Por lo tanto, la tercera ecuación sería
$$ (x-4)^2+(y-3)^2=3^2 $$


Situación 3. Se desea construir una lata cilíndrica para almacenar leche en polvo, la cual debe tener un diámetro de 12 cm. Si el centro de la tapa corresponde al punto de origen C(0,0), determine su ecuación.

Solución
Recordemos que el diámetro equivale al doble del radio, es decir dos veces el radio. Si el diámetro es de 12 cm, entonces el radio será de 6 cm. Adicionalmente el problema nos dice que el centro de la tapa está en el origen, es decir que,
$$ \text{el Centro es }C(0,0) \text{ y su radio }r=6 $$
Con lo cual podemos determinar la ecuación como sigue
$$ x^2+y^2=6^2 $$


Situación 4. Un diseñador está dibujando una transmisión de movimiento en la que dos discos circulares son tangentes. En su dibujo, el primer disco tiene un radio de 4 cm y el segundo tiene un radio de 8 cm. ¿Cuál es la ecuación de cada una de las circunferencias correspondientes, si se considera el origen como centro de la primera circunferencia y el eje x pasa por el centro de la segunda circunferencia?

Solución
En este caso lo mas conveniente es primero realizar el dibujo de las circunferencias en un mismo plano (recordemos que se deben tocar en un punto) y luego de manera visual determinar el centro y radio de cada circunferencia para finalmente determinar la ecuación canónica de cada una.

Para la circunferencia más pequeña tenemos que
$$ \text{el Centro es }C(0,0) \text{ y su radio }r=4 $$
Y su ecuación se podrá representar como sigue
$$ x^2+y^2=4^2 $$
Para la circunferencia más grande tenemos que
$$ \text{el Centro es }C(12,0) \text{ y su radio }r=8 $$
Y su ecuación se podrá representar como sigue
$$ (x-12)^2+(y-0)^2=4^2 $$
$$ (x-12)^2+y^2=4^2 $$


Situación 5. Al caer una gota de agua en un estanque se forman ondas circulares, las cuales se propagan a una velocidad de 2 cm/seg.

A. Represente los conjuntos obtenidos en el punto anterior en un mismo plano cartesiano, donde las unidades en los ejes son de 1 cm.

B. Obtenga el conjunto de puntos por donde pasa la onda, 2 y 3 segundos después de iniciar su propagación. Suponga que el punto donde cae la gota es el origen de coordenadas.

Solución
A. El hecho de que la onda se propague a una velocidad de 2 cm/seg nos indica que por cada segundo que transcurre esta recorre dos centímetros en todas las direcciones. Por lo tanto, transcurridos dos segundos la primera onda que se forma recorre 4 cm y en 3 segundos habrá recorrido 6 cm.

B. Recordemos el concepto de circunferencia. Son todos aquellos puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. En este sentido lo que nos solicita el punto B es describir las ecuaciones de las circunferencias que se forman transcurridos 2 y 3 segundos después que cae la gota de agua al estanque. De la gráfica se puede observar que ambas circunferencias poseen el mismo centro, lo que cambia son sus radios.

Ecuación de la circunferencia pequeña
$$ x^2+y^2=4^2 $$
Ecuación de la circunferencia grande
$$ x^2+y^2=6^2 $$


Situación 6. Las siguientes corresponden a ecuaciones de circunferencias. Realice sus graficas en un mismo plano cartesiano y coloréela de tal manera que tome la forma del símbolo Yin Yang.
$$ x^2+y^2+8x-10y+40=0 $$
$$ x^2+y^2+8x-10y+32=0 $$
$$ x^2+y^2+8x+2y+16=0 $$
$$ x^2+y^2+8x+2y+8=0 $$
$$ x^2+y^2+8x-4y-16=0 $$

Solución
Recordemos que para poder realizar las gráficas necesitamos conocer el centro y el radio de cada circunferencia, pero en este caso nos las dan en su forma general, por lo que el primer paso será escribirlas en su forma canónica. El procedimiento para cada ecuación se presenta a continuación.

Ecuación 1
$$ x^2+y^2+8x-10y+40=0 $$
$$ x^2+8x+y^2-10y=-40 $$
$$ x^2+8x+4^2+y^2-10y+5^2=-40+4^2+5^2 $$
$$ (x+4)^2+(y-5)^2=1 $$
$$ (x+4)^2+(y-5)^2=1^2 $$
$$ \text{el Centro es }C(-4,5) \text{ y su radio }r=1 $$

Ecuación 2
$$ x^2+y^2+8x-10y+32=0 $$
$$ x^2+8x+y^2-10y=-32 $$
$$ x^2+8x+4^2+y^2-10y+5^2=-32+4^2+5^2 $$
$$ (x+4)^2+(y-5)^2=9 $$
$$ (x+4)^2+(y-5)^2=3^2 $$
$$ \text{el Centro es }C(-4,5) \text{ y su radio }r=3 $$

Ecuación 3
$$ x^2+y^2+8x+2y+16=0 $$
$$ x^2+8x+y^2+2y=-16 $$
$$ x^2+8x+4^2+y^2+2y+1^2=-16+4^2+1^2 $$
$$ (x+4)^2+(y+1)^2=1 $$
$$ (x+4)^2+(y+1)^2=1^2 $$
$$ \text{el Centro es }C(-4,-1) \text{ y su radio }r=1 $$

Ecuación 4
$$ x^2+y^2+8x+2y+8=0 $$
$$ x^2+8x+y^2+2y=-8 $$
$$ x^2+8x+4^2+y^2+2y+1^2=-8+4^2+1^2 $$
$$ (x+4)^2+(y+1)^2=9 $$
$$ (x+4)^2+(y+1)^2=3^2 $$
$$ \text{el Centro es }C(-4,-1) \text{ y su radio }r=3 $$

Ecuación 5
$$ x^2+y^2+8x-4y-16=0 $$
$$ x^2+8x+y^2-4y=16 $$
$$ x^2+8x+4^2+y^2-4y+2^2=16+4^2+2^2 $$
$$ (x+4)^2+(y-2)^2=36 $$
$$ (x+4)^2+(y-2)^2=6^2 $$
$$ \text{el Centro es }C(-4,2) \text{ y su radio }r=6 $$

Ahora procedemos a dibujar en un mismo plano cartesiano las circunferencias según los datos de centro y radio obtenidos anteriormente.



Ahora procedemos a colorar de tal manera que tome la forma del símbolo Yin Yang.