- Reconocer si una ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia.
- Identificar cuando la ecuación de una circunferencia está escrita en su forma general.
- Rescribir la ecuación de una circunferencia hasta llevarla a su forma general.
- Describir la ecuación canónica de una circunferencia a partir de su ecuación general.
Ecuación general de la circunferencia
Recordemos que la ecuación canónica de la circunferencia tiene la forma$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$Donde h, k y r son constantes, es decir números que no cambian en la ecuación.Desarrollando los binomios que aparecen en la ecuación nos queda que$$ x^2-2xh+h^2+y^2-2yk+k^2=r^2 $$$$ x^2+y^2-2xh-2yk=r^2-h^2-k^2 $$Supongamos ahora que$$ D=-2h E=-2k F=r^2-h^2-k^2 $$y sustituyamos en la ecuación anterior. Esto lo hacemos con el objetivo de reducir la forma en cómo se verá la ecuación final.$$ x^2+y^2+Dx+Ey=F $$Obteniéndose con ello la ecuación general de la circunferencia.$$ x^2+y^2+Dx+Ey-F=0 $$Donde D, E y F son valores constantes.
Para determinar si una ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general se deben tener en cuenta los siguientes aspectos:
- Las variables x e y deben aparecer en la ecuación como mínimo una vez y como máximo dos veces.
- La máxima potencia que deben asumir las variables x e y es el número dos.
- Los coeficientes de las variables x e y elevadas al cuadrado deben ser iguales en signo y en valor, e iguales a uno.
- La ecuación debe estar igualada a cero.
$$ x^2+y^2-3x+5y-4=0 $$
La variable equis aparece dos veces, la primera está elevada al cuadrado y la segunda aparece acompañada de menos tres, igual sucede con la variable ye, la cual aparece dos veces, la primera está elevada al cuadrado y la segunda tiene a cinco como coeficiente, adicionalmente el coeficiente de las variables que están elevadas al cuadrado es el número uno positivo y la ecuación está igualada a cero.
Ejemplo 1. Verifique si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, si lo es, escríbala en su forma canónica.
Ejemplo 1. Dibuja la circunferencia que tiene por ecuación a
Ejemplo 2. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ x^2+y^3-5x+4y+3=0 $$
No corresponde a la ecuación de una circunferencia ya que a pesar de que la variable ye aparece dos veces una de ellas está elevada a la tres, recordemos que la máxima potencia en este caso debería ser el número dos.
Ejemplo 3. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ x^2+y^2-6=0 $$
Si corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general, ya que cumple con las condiciones anteriormente descritas.
Ejemplo 4. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ x^2+4x-3=0 $$
No corresponde a la ecuación de una circunferencia ya que la variable “ye” no aparece en la ecuación, debería aparecer por lo menos una vez y elevada al cuadrado.
Ejemplo 5. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ x^2+(y-2)^2=4 $$
Si corresponde a la ecuación de una circunferencia, pero no está escrita en su forma general, está escrita en forma canónica.
Ejemplo 6. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ x^2+y-2x-3=0 $$
No corresponde a la ecuación de una circunferencia ya que a pesar de que la variable “ye” aparece una sola vez en la ecuación, no está elevada al cuadrado.
Ejemplo 7. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ -3x^2-3y^2+2x-4y=0 $$
Sí corresponde a la ecuación de una circunferencia, pues los coeficientes de las variables x e y que están elevadas al cuadrado son iguales en valor y en signo, pero no está escrita en su forma general, pues dichos coeficientes no corresponden al número uno positivo.
Ejemplo 8. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ 6x^2-6y^2-7x+5=0 $$
No corresponde a la ecuación de una circunferencia, pues los coeficientes de las variables x e y que están elevadas al cuadrado a pesar de ser iguales en valor no son iguales en signo, observa que el seis que acompaña a la equis cuadrado es positivo mientras que el seis que acompaña a la ye cuadrado es negativo.
Ejemplo 9. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ 12x^2+12y^2+8x-9y=0 $$
Sí corresponde a la ecuación de una circunferencia, pues los coeficientes de las variables x e y que están elevadas al cuadrado son iguales en valor y en signo, pero no está escrita en su forma general, pues los coeficientes son diferentes al número uno positivo.
Ejemplo 10. Diga si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia escrita en su forma general.
$$ -4x-4y^2+12x-8y+2=0 $$
No corresponde a la ecuación de una circunferencia, pues a pesar de que los coeficientes de las variables x e y son iguales en valor y en signo, la equis no está elevada al cuadrado.
Ahora que ya sabes identificar cuando una ecuación pertenece a una circunferencia y cuando está escrita en su forma general, sería interesante que aprendieras a transformar una ecuación general a una ecuación canónica.
Para hallar la ecuación canónica de una circunferencia a partir de su ecuación general es muy importante que tengas en cuenta los siguientes pasos:
Paso 1. Verifica que la ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia.
Paso 2. Verifica que la ecuación esté escrita en su forma general, si no lo está se debe organizar y simplificar hasta que esté en su forma general.
Paso 3. Se agrupan los términos semejantes y se pasa al otro lado de la igualdad el valor constante.
Paso 4. Se completa el cuadrado para cada expresión.
Paso 5. Se simplifica la ecuación y finalmente se escribe en su forma canónica.
$$ x^2+y^2-4x+10y+13=0 $$
Solución
La ecuación sí corresponde a una circunferencia (paso 1) y está escrita de manera general (paso 2), razón por la que se procede a transformarla a su forma canónica. Se aplica agrupan los términos semejantes y se pasa al otro lado de la igualdad el valor constante (paso 3)
$$ x^2-4x+y^2+10y=-13 $$
Se procede a completar los cuadrados (paso 4)
$$ x^2-4x+2^2+y^2+10y+5^2=-13+2^2+5^2 $$
$$ (x-2)^2+(y+5)^2=-13+4+25 $$
Se simplifica la ecuación y finalmente se escribe en su forma canónica.
$$ (x-2)^2+(y+5)^2=16 $$
$$ (x-2)^2+(y+5)^2=4^2 $$
Ejemplo 2. Verifique si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, si lo es, escríbala en su forma canónica.
$$ x^2+y^2+8x-14y+40=0 $$
Solución
$$ x^2+8x+y^2-14y=-40 $$
$$ x^2+8x+4^2+y^2-14y+7^2=-40+4^2+7^2 $$
$$ (x+4)^2+(y-7)^2=-40+16+49 $$
$$ (x+4)^2+(y-7)^2=25 $$
$$ (x+4)^2+(y-7)^2=5^2 $$
Ejemplo 3. Verifique si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, si lo es, escríbala en su forma canónica.
$$ x^2+y^2-6x+5=0 $$
Solución
$$ x^2-6x+y^2=-5 $$
$$ x^2-6x+3^2+y^2=-5+3^2 $$
$$ (x-3)^2+y^2=-5+9 $$
$$ (x-3)^2+y^2=4 $$
$$ (x-3)^2+y^2=2^2$$
Ejemplo 4. Verifique si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, si lo es, escríbala en su forma canónica.
$$ 3x^2+3y^2-6x-30y-30=0 $$
Solución
Según lo aprendido a inicios de esta sesión se puede afirmar que la ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, pero no está escrita en su forma general. En este caso primero se debe llevar a su forma general para posteriormente seguir con el proceso. Para ello, en este caso se dividen todos los miembros de la ecuación entre tres.
$$ \frac{3x^2}{3}+\frac{3y^2}{3}-\frac{6x}{3}-\frac{30y}{3}-\frac{30}{3}=\frac{0}{3} $$
Se simplifica,
$$ x^2+y^2-2x-10y-10=0$$
Se procede como en los ejemplos anteriores.
$$ x^2-2x+y^2-10y=10 $$
$$ x^2-2x+1^2+y^2-10y+5^2=10+1^2+5^2 $$
$$ (x-1)^2+(y-5)^2=10+1+25 $$
$$ (x-1)^2+(y-5)^2=36 $$
$$ (x-1)^2+(y-5)^2=6^2 $$
Ejemplo 5. Verifique si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, si lo es, escríbala en su forma canónica.
$$ -2x^2-2y^2-20x+8y+40=0 $$
Solución
$$ \frac{-2x^2}{-2}-\frac{2y^2}{-2}-\frac{20x}{-2}+\frac{8y}{-2}+\frac{40}{-2}=\frac{0}{-2} $$
$$ x^2+y^2+10x-4y-20=0 $$
$$ x^2+10x+y^2-4y=20 $$
$$ x^2+10x+5^2+y^2-4y+2^2=20+5^2+2^2 $$
$$ (x+5)^2+(y-2)^2=20+25+4 $$
$$ (x+5)^2+(y-2)^2=49 $$
$$ (x+5)^2+(y-2)^2=7^2 $$
Ejemplo 6. Verifique si la siguiente ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, si lo es, escríbala en su forma canónica.
$$ -8x^2+8y^2-20x+8y+40=0 $$
Solución
La ecuación no pertenece a la ecuación de una circunferencia, razón por la cual no se puede escribir de manera canónica. A pesar de que los coeficientes de las variables que están elevadas al cuadrado poseen el mismo valor no poseen el mismo signo.
Ahora que ya sabes reconocer si una ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, identificar cuando la ecuación de una circunferencia está escrita en su forma general y escribir la ecuación de una circunferencia en su forma canónica a partir de su ecuación general, es tiempo de que realices la gráfica de una circunferencia a partir de su forma general.
Recordemos que para realizar la gráfica de una circunferencia se necesitan el centro y el radio de esta. Para ello, en este caso lo primero que se debe hacer es transformar la ecuación de su forma general a su forma canónica, de esta última se definen el centro y el radio, con lo cual fácilmente dibujaremos la circunferencia.
Ejemplo 1. Dibuja la circunferencia que tiene por ecuación a
$$ x^2+y^2-4x+6y-12=0 $$
Solución
$$ x^2-4x+y^2+6y=12 $$
$$ x^2-4x+2^2+y^2+6y+3^2=12+2^2+3^2 $$
$$ (x-2)^2+(y+3)^2=25 $$
$$ (x-2)^2+(y+3)^2=5^2 $$
De lo cual se deduce que
$$ \text{Centro }C(2,-3) \text{ y radio }r=5 $$
Ejemplo 2. Dibuja la circunferencia que tiene por ecuación a
$$ x^2+y^2+2y-3=0 $$
Solución
$$ x^2+y^2+2y=3 $$
$$ x^2+y^2+2y+1^2=3+1^2 $$
$$ x^2+(y+1)^2=4 $$
$$ x^2+(y+1)^2=2^2 $$
De lo cual se deduce que
$$ \text{Centro }C(0,-1) \text{ y radio }r=2 $$
Ejemplo 3. Dibuja la circunferencia que tiene por ecuación a
$$ x^2+y^2+6x-2y+6=0 $$
Solución
$$ x^2+6x+y^2-2y=-6 $$
$$ x^2+6x+3^2+y^2-2y+1^2=-6+3^2+1^2 $$
$$ (x+3)^2+(y-2)^2=4 $$
$$ (x+3)^2+(y-2)^2=2^2 $$
De lo cual se deduce que
$$ \text{Centro }C(-3,2) \text{ y radio }r=2 $$
Ejemplo 4. Dibuja la circunferencia que tiene por ecuación a
$$ 3x^2+3y^2+36x+24y+129=0 $$
Solución
$$ \frac{3x^2}{3}+\frac{3y^2}{3}+\frac{36x}{3}+\frac{24y}{3}+\frac{129}{3}=\frac{0}{3} $$
$$ x^2+y^2+12x+8y+43=0 $$
$$ x^2+12x+y^2+8y=-43 $$
$$ x^2+12x+6^2+y^2+8y+4^2=-43+6^2+4^2 $$
$$ (x+6)^2+(y+4)^2=9 $$
$$ (x+6)^2+(y+4)^2=3^2 $$
De lo cual se deduce que
$$ \text{Centro }C(-6,-4) \text{ y radio }r=3 $$
Recursos adicionales:
Simulador.
Guía completa de ecuación canónica.
Taller de ecuación canónica.
Practica para la evaluación.
