Al finalizar esta sesión se espera que el estudiante aprenda a:
- Reconocer cuándo una ecuación representa una circunferencia.
- Reconocer cuándo la ecuación de una circunferencia está escrita de forma canónica.
- Identificar los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación canónica.
- Determinar la ecuación canónica de una circunferencia a partir de su gráfica y de valores de centros y radios dados.
- Realizar la gráfica de una circunferencia dada su ecuación canónica.
Ecuación Canónica de la Circunferencia con centro en C(h,k)
Se dice que la ecuación de una circunferencia está escrita en forma canónica si tiene la siguiente forma:$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$donde h y k son las coordenadas del centro de la circunferencia$$ C(h,k) $$y r es el radio de la misma.
Ejemplo 1. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuacion
$$ (x-2)^2+(y-4)^2=3^2 $$
Solución
$$ \text{el Centro es }C(2,4) \text{ y su radio }r=3 $$
Ejemplo 2. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación
$$ (x-1)^2+(y-3)^2=16 $$
Solución
$$ \text{el Centro es }C(1,3) \text{ y su radio }r=4 $$
Ejemplo 3. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación
$$ (x-9)^2+(y-7)^2=64 $$
Solución
$$ \text{el Centro es }C(9,7) \text{ y su radio }r=8 $$
Ejemplo 4. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación
$$ x^2+(y-4)^2=5^2 $$
Solución
$$ \text{el Centro es }C(0,4) \text{ y su radio }r=5 $$
Observese que en este caso h = 0
Ejemplo 5. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación
$$ (x-3)^2+y^2=36 $$
Solución
$$ \text{el Centro es }C(3,0) \text{ y su radio }r=6 $$
Observese que en este caso k = 0
Ejemplo 6. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación
$$ x^2+y^2=4 $$
Solución
$$ \text{el Centro es }C(0,0) \text{ y su radio }r=2 $$
Observese que en este caso h = 0 y k = 0
Nótese de los ejemplos 1 al 3 que los números que están dentro de los paréntesis poseen signo negativo, sin embargo al momento de escribir los números que conforman el centro de la circunferencia, se toman los mismos números pero positivos. ¿por qué sucede esto? Esto se explica debido a que el signo negativo en la ecuación pertenece a la operación en sí, no al número mismo.
Supongamos que tenemos una circunferencia en la que h y k asumen valores negativos, por ejemplo h = -2 y k = -3 con r = 5, en este caso la ecuación de la circunferencia quedaría descrita como sigue:
$$ (x--2)^2+(y--3)^2=5^2 $$
lo cual es equivalente a escribir
$$ (x+2)^2+(y+3)^2=5^2 $$
o simplemente,
$$ (x+2)^2+(y+3)^2=25 $$
la cual corresponde a una circunferencia con centro en C(-2, -3) y radio r = 5
En otras palabras, si el signo que está dentro del paréntesis es negativo, el número que se escribirá como coordenada del centro será positivo, y si el signo que está dentro del paréntesis es positivo, el número que se escribirá como coordenada del centro será negativo.
Ejemplo 7. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación.
$$ (x+9)^2+(y+7)^2=64 $$
Solución
$$ C(-9,-7) $$
$$ r=8 $$
Ejemplo 8. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación.
$$ (x+1)^2+(y+3)^2=25 $$
Solución
$$ C(-1,-3) $$
$$ r=5 $$
Ejemplo 9. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación.
$$ (x-6)^2+(y+4)^2=9 $$
Solución
$$ C(6,-4) $$
$$ r=3 $$
Ejemplo 10. Determine el centro y el radio de la circunferencia que tiene por ecuación.
$$ (x+9)^2+(y-2)^2=36 $$
Solución
$$ C(-9,2) $$
$$ r=6 $$
Ecuación Canónica de la Circunferencia con centro en C(0,0)
Si el centro de la circunferencia se encuentra ubicado en el origen C(0,0) es decir,$$ (x-0)^2+(y-0)^2=r^2 $$la ecuación de la circunferencia se reduce a$$ x^2+y^2=r^2 $$
Ejemplo 1. Determine el radio de la circunferencia que tiene por ecuación.
$$ x^2+y^2=25 $$
Solución
$$ r=5 $$
Ejemplo 2. Determine el radio de la circunferencia que tiene por ecuación.
$$ x^2+y^2=4 $$
Solución
$$ r=2 $$
Ejemplo 3. Determine el radio de la circunferencia que tiene por ecuación.
$$ x^2+y^2=(\sqrt{8})^2 $$
Solución
$$ r=\sqrt{8} $$
Ejemplo 4. Determine el radio de la circunferencia que tiene por ecuación.
$$ x^2+y^2=5 $$
Solución
La ecuación de la circunferencia puede reescribirse de la siguiente manera
$$ x^2+y^2=(\sqrt{5})^2 $$
recuerda que el cuadrado se eliminaría con la raíz y obtendríamos la ecuación inicial, así garantizamos que los valores originales se conserven, por lo tanto el radio sería
$$ r=\sqrt{5} $$
¿Cómo reconocer si una ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia?
La ecuación de una circunferencia escrita de forma canónica debe cumplir las siguientes características.
- El coeficiente de las variables x e y debe ser el número uno.
- Los términos que contienen a las variables x e y deben estar elevados ambos al cuadrado, dichos términos tendrán por coeficiente al número uno.
- El valor del radio debe ser un número mayor que cero r > 0.
- El signo que separa los términos que están elevados al cuadrado debe ser positivo.
Determine si las siguientes corresponden a ecuaciones de circunferencias
$$ (3x-2)^2+(y-1)^2=4^2 $$
R:// No corresponde a una circunferencia, ya que el coeficiente de x debe ser 1, no 3.
$$ (x-2)^2+(y-1)^2=16 $$
R:// Si corresponde a una circunferencia.
$$ (x-2)^2+4(y-1)^2=3^2 $$
R:// No corresponde a una circunferencia, ya que el coeficiente del segundo término que está elevado al cuadrado debe ser 1, no 4.
$$ (x+4)^2-(y-1)^2=64 $$
R:// No corresponde a una circunferencia, ya que el signo que separa los términos que están elevados al cuadrado es negativo y debe ser positivo.
$$ (x+10)^2+(y-2)^2=5 $$
R:// Si corresponde a una circunferencia.
$$ (x-2)^2+(y+2)^2=-4 $$
R:// No corresponde a una circunferencia, ya que el radio debe ser un número mayor a cero.
$$ (x-2)+(y+2)^2=8 $$
R:// No corresponde a una circunferencia, ya que el primer término entre paréntesis debería estar elevado al cuadrado y no lo está.
$$ (x-9)^2+(y+3)^2=32 $$
R:// Si corresponde a una circunferencia.
$$ (x-3)^2+(y+2)^2=6^2 $$
R:// Si corresponde a una circunferencia.
$$ (x-2)^2+(y-3)=-5 $$
R:// No es circunferencia, ya que el segundo término entre paréntesis no está elevado al cuadrado, además, el radio debe ser un número mayor a cero.
$$ (x^2-1)^2+(y-3)^2=1 $$
R:// No es circunferencia, ya que mientras la coordenada en x del centro de la circunferencia sea diferente de cero. la variable x no debe estar elevada al cuadrado.
$$ (3x-4)^2-5(y+2)=-2 $$
R:// No es circunferencia por varias razones; el número que acompaña a la variable x (coeficiente) debe ser uno, no tres. El símbolo de la operación que separa los dos términos que están entre paréntesis debe ser positivo, no negativo. El segundo término que está entre paréntesis no debe tener por coeficiente a cinco, además de ello debe estar elevado al cuadrado. Finalmente, el radio debe ser un numero positivo o mayor a cero.
¿Cómo reconocer si la ecuación de una circunferencia está escrita de forma canónica?
Si sabemos que una ecuación corresponde a una circunferencia, para llevarla a su forma canónica recordemos que debe quedar escrita de la siguiente manera$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$donde h y k son las coordenadas del centro de la circunferencia$$ C(h,k) $$y r es el radio de la misma.
Ejemplo 1. Escriba en su forma canónica la ecuacion de la siguiente circunferencia
$$ (x-1)^2+(y+3)^2=16 $$
Solución
Se puede observar que lo único que se debe hacer en este caso es reescribir el valor del radio, pues el resto está escrito de manera correcta. La ecuación quedaría de la siguiente manera:
$$ (x-1)^2+(y+3)^2=4^2 $$
Ejemplo 2. Escriba en su forma canónica la ecuacion de la siguiente circunferencia
$$ (x-5)^2+(y-+8)^2=3 $$
Solución
En este caso se deben operan los signos del segundo término entre paréntesis (recuerde que negativo por positivo da negativo), y reescribir el valor del radio como sigue:
$$ (x-5)^2+(y-8)^2=(\sqrt{3})^2 $$
Ejemplo 3. Escriba en su forma canónica la ecuación de la siguiente circunferencia
$$ \sqrt{(x--3)^2+(y+4)^2}=3 $$
Solución
En este caso se deben hacer dos cosas; eliminiar la raíz cuadrado del miembro a la izquierda de la igualdad y operar los signos del primer término entre paréntesis.
Con el fin de eliminar la raíz cuadrada se elevan lados al cuadrado ambos lados de la igualdad.
$$ (\sqrt{(x--3)^2+(y+4)^2})^2=3^2 $$
Ahora se cancela el cuadrado con la raíz y se operan los signos del 1er término entre paréntesis (recuerda que negativo por negativo da positivo)
$$ (x+3)^2+(y+4)^2=3^2 $$
Ecuación canónica de la circunferencia a partir de los valores de centro y radio.
Hasta este punto ya sabemos como identificar cuando una ecuación corresponde a la ecuación de una circunferencia, también sabemos llevar la ecuación de una circunferencia a su forma canónica e identificar el centro y radio de la misma. Ahora el propósito será hallar la ecuación canónica a partir de los valores de centro y radio.Recuerda que la ecuación canónica tiene la forma
$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$donde h y k son las coordenadas del centro de la circunferencia$$ C(h,k) $$y r es el radio de la misma.
Ejemplo 1. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(1,2) y radio r = 3
Solución
En este caso h = 1 y k = 2, por lo tanto,
$$ (x-1)^2+(y-2)^2=3^2 $$
Ejemplo 2. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2,4) y radio r = 5
Solución
En este caso h = 2 y k = 4, por lo tanto,
$$ (x-2)^2+(y-4)^2=5^2 $$
Ejemplo 3. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(0,5) y radio r = 4
Solución
En este caso h = 0 y k = 5, por lo tanto,
$$ (x-0)^2+(y-5)^2=4^2 $$
$$ x^2+(y-5)^2=4^2 $$
Ejemplo 4. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(8,0) y radio r = 1
Solución
En este caso h = 8 y k = 0, por lo tanto,
$$ (x-8)^2+(y-0)^2=1^2 $$
$$ (x-8)^2+y^2=1^2 $$
Ejemplo 5. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(0,0) y radio r = 4
Solución
En este caso h = 0 y k = 0, por lo tanto,
$$ (x-0)^2+(y-0)^2=4^2 $$
$$ x^2+y^2=4^2 $$
Ejemplo 6. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(-2,-4) y radio r = 3
Solución
En este caso h = -2 y k = -4, por lo tanto,
$$ (x--2)^2+(y--4)^2=3^2 $$
$$ (x+2)^2+(y+4)^2=3^2 $$
Ejemplo 7. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(-9,-7) y radio r = 6
Solución
En este caso h = -9 y k = -7, por lo tanto,
$$ (x--9)^2+(y--7)^2=6^2 $$
$$ (x+9)^2+(y+7)^2=6^2 $$
Ejemplo 8. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(-1,3) y radio r = 2
Solución
En este caso h = -1 y k = 3, por lo tanto,
$$ (x--1)^2+(y-3)^2=2^2 $$
$$ (x+1)^2+(y-3)^2=2^2 $$
Ejemplo 9. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(8,-5) y radio r = 7
Solución
En este caso h = 8 y k = -5, por lo tanto,
$$ (x-8)^2+(y--5)^2=7^2 $$
$$ (x-8)^2+(y+5)^2=7^2 $$
Ejemplo 10. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(0,-3) y radio r = 10
Solución
En este caso h = 0 y k = -3, por lo tanto,
$$ (x-0)^2+(y--3)^2=10^2 $$
$$ x^2+(y+3)^2=10^2 $$
Ahora a partir del gráfico de la circunferencia escribamos su ecuación en forma canónica.
Ejemplo 1. Observa la gráfica de la circunferencia, luego escribe su ecuación canónica.
Solución
Para determinar la ecuación canónica de la circunferencia necesitamos el radio y el centro. Al observar la figura se encontramos que
$$ \text{el Centro es }C(2,1) \text{ y su radio }r=3 $$
En este caso h = 2 y k = 1, por lo tanto, la ecuación canónica será:
$$ (x-2)^2+(y-1)^2=3^2 $$
Ejemplo 2. Observa la gráfica de la circunferencia, luego escribe su ecuación canónica.
Solución
Al observar la figura encontramos que
$$ \text{el Centro es }C(3,-1) \text{ y su radio }r=2 $$
En este caso h = 3 y k = -1, por lo tanto, la ecuación canónica será:
$$ (x-3)^2+(y--1)^2=2^2 $$
$$ (x-3)^2+(y+1)^2=2^2 $$
Ejemplo 3. Observa la gráfica de la circunferencia, luego escribe su ecuación canónica.
Solución
Al observar la figura encontramos que
$$ \text{el Centro es }C(-2,-3) \text{ y su radio }r=4 $$
En este caso h = -2 y k = -3, por lo tanto, la ecuación canónica será:
$$ (x--2)^2+(y--3)^2=4^2 $$
$$ (x+2)^2+(y+3)^2=4^2 $$
Ejemplo 4. Observa la gráfica de la circunferencia, luego escribe su ecuación canónica.
Solución
Al observar la figura encontramos que
$$ \text{el Centro es }C(-4,0) \text{ y su radio }r=1 $$
En este caso h = -4 y k = 0, por lo tanto, la ecuación canónica será:
$$ (x--4)^2+(y-0)^2=1^2 $$
$$ (x+4)^2+y^2=1^2 $$
Ya estas listo para resolver un problema de manera completa...
Ejemplo 1. Dibuja la circunferencia que tiene por ecuación
$$ (x-1)^2+(y--4)^2=9 $$
Solución
Para dibujar una circunferencia necesitamos dos elementos, su centro y su radio. Al observar la ecuación nos damos cuenta que esta no está escrita en forma canónica, razón por la cual el primer paso será llevarla a su forma canónica.
$$ (x-1)^2+(y+4)^2=3^2 $$
Una vez en su forma canónica, identificamos su centro y su radio
$$ \text{Centro }C(1,-4) \text{ y radio }r=3 $$
Finalmente ubicamos el centro y con ayuda del compás dibujamos la circunferencia tal y como se muestra a continuación:
Ejemplo 2. Dibuja la circunferencia que tiene por ecuación
$$ \sqrt{(x--4)^2+(y+2)^2}=5 $$
Solución
Para dibujar una circunferencia necesitamos dos elementos, su centro y su radio. Al observar la ecuación nos damos cuenta que esta no está escrita en forma canónica, razón por la cual el primer paso será llevarla a su forma canónica.
$$ (\sqrt{(x--4)^2+(y-2)^2})^2=5^2 $$
$$ (x+4)^2+(y-2)^2=5^2 $$
Una vez en su forma canónica, identificamos su centro y su radio
$$ \text{Centro }C(-4,2) \text{ y radio }r=5 $$
Finalmente ubicamos el centro y con ayuda del compás dibujamos la circunferencia tal y como se muestra a continuación:
Recursos adicionales:
Simulador.
Guía completa de ecuación canónica.
Taller de ecuación canónica.
Practica para la evaluación.
